\section{半群和群　习题答案}

    \subsubsection{习题}

    \begin{exercise}
        \begin{enumerate}
            \item {是，否，否，否；（不满足结合律）}
            \item {是，否，否，否；（不满足结合律）}
            \item {否，否，否，否；（取互为倒数的两个数，不满足封闭性）}
            \item {是，是，是，是；}
            \item {是，是，是，否；（对于行列式为$0$的矩阵没有逆元）}
            \item {是，是，是，是。}
        \end{enumerate}
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        使
        $$
        \begin{cases}
            a \ast b = b\\
            a \ast a = a\\
            b \ast a = b\\
            b \ast b = a
        \end{cases}
        $$
        就能满足条件。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        任取非单位元$a,b \in G$，
        \begin{align}
            a\rev b \rev &= ea\rev b\rev e             \nonumber  \\
            &=  bb\rev a\rev b\rev a\rev a             \nonumber  \\
            &=  b(b\rev a\rev)^2 a                     \nonumber  \\
            &=  ba                                     \nonumber  \\
            &=  ea\rev b\rev e                         \nonumber  \\
            &=  aa\rev a\rev b\rev b\rev b             \nonumber  \\
            &=  aa^{-2}b^{-2}b                         \nonumber  \\
            &=  ab                                     \nonumber
        \end{align}
        这说明了$G$是一个Abel群。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        不成立。
        由于集合元素个数无限，不能从 “$aa_1,aa_2,\cdots\in G$ 且两两不等”
        推出 “$aa_1,aa_2,\cdots$ 是 $a_1,a_2,\cdots$ 的一个排列”，
        进而无法保证方程有解。去零整数乘法半群是一个反例。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        任取一个阶为$k>2$的元素$a$，总能发现$a\rev$的阶也是$k$：
        因为首先$a^{-k}=(a^k)^{-1} = e$，
        同时如果存在$0<r<k$使得$a^{-r}=e$，则$a^r=e$，与$a$的阶是$k$矛盾。
        加之$a=a\rev$当且仅当$a^2=e$，也即$a$的阶不超过$2$。
        所以阶为$k$的元素总是和它的逆元成对出现。
        进而说明阶为$k$的元素个数为偶数。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        \begin{enumerate}
            \item {
                任何整数被$m$所除所得到的余数显然落在$\mathbb{Z}_m$内。
            }
            \item {
                封闭性在上一问中已被验证。接下来验证结合律：任取$a,b,c \in \mathbb{Z}_m$，
                总有$a \ast (b \ast c) \equiv (a \ast b) \ast c \equiv abc (\text{mod\ } m)$，
                而$a \ast (b \ast c) $和$ (a \ast b) \ast c$都小于$m$，进而有二者相等。

                任取$a,b \in \ZZ_m$，$a \ast b = b \ast a = ab/m \text{的余数}$，交换性得证。

                $1$ 是单位元。
            }
            \item {略。}
        \end{enumerate}
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        略
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        \begin{enumerate}
            \item {
                我们设$a$的阶是$p$，因此$a^p = e$，
                $(a\rev)^p = (a^p)\rev = e\rev = e$。
                如果存在自然数$n < p$，$(a\rev)^n = e = (a^n)\rev$，
                这说明$a^n=e$，矛盾。
            }
            \item {
                我们设$a$的阶是$p$，因此$a^p = e$，
                $(bab\rev)^p = b(abb\rev)^{p-1}ab\rev = ba^{p-1}ab\rev=ba^pb\rev = e$，
                如果存在自然数$n < p$，$(baa\rev)n = e = bb\rev =ba^nb\rev$，
                左右消去律有$a^n=e$，矛盾。
            }
            \item {
                我们设$ab$的阶为$q$，因此$(ab)^q=e$。
                $(ba)^q = b(ab)^{q-1}a = b(ab)^qb\rev a\rev a=bb\rev a\rev a=e$。
                如果存在自然数$n < q$，$(ba)^n=b(ab)^{n-1}a=b(ab)^nb\rev a\rev a=e$，
                这说明$(ab)^n=e$，矛盾。
            }
        \end{enumerate}
    \end{exercise}

    \subsubsection{补充题}

    \begin{exercise}
        我们先假设任取$G$中元素$a$的左逆元为$a'$，左单位元为$e$。
        我们首先证明$aa'=e$，我们取$a'$的逆元$a''$使得$a''a'=e$，
        则$aa'=eaa'=a''a'aa'=a''a'=e$。进而$ae=aa'a=a$。
        综合起来，说明了$G$是一个群。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        任取一个$b \in G$，总有$a \in G$，我们记$a' = f(a)$（$f:G \rightarrow G$是题目中所说的一元运算），满足
        $a'ab=b$。由于$b$是任意的，这说明$a'a$为左单位元。同理可证$a'a$是右单位元。
        进而$a'aaa'=a'a=aa'$。
        
        $b'b=b'baa'=a'a=aa'$，这说明了任取$b \in G$，总有它的左逆元$b'$。

        采用上一问的结论，可以证明$G$是一个群。
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        不一定是群。考虑一个二元集合${a,b}$，定义运算$a\cdot a=a$,$a\cdot b=b$,$b\cdot a=a$,$b\cdot b=b$，从而存在左
        幺元$a$，$b$有右逆元$a$，$a$有右逆元$a$，但显然不存在右幺元，从而不构成群，即为一个反例。
        \footnote{来源：\href{https://mmkaymath.github.io/KaiZhu2003.github.io/}{凯淼淼}的\href{https://mmkaymath.github.io/KaiZhu.github.io/file/AA.pdf}{抽象代数学习笔记}}
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        \begin{enumerate}
            \item {
                正确的。我们不妨假设有限群$G$中有一个无限阶的元素$a$，我们可以通过$a$生成（至少）可数无穷多个互不相同的元素：
                $\forall n,m \in \NP$，$n<m$，$a^n \ne a^m$，因为如果如此则$a^{m-n}=e$，与$a$的阶无穷矛盾。
                这样的构造说明群$G$不是有限群，矛盾。所以不存在一个无限阶的元素。
            }
            \item {
                错误的。设$G_n$是$n$阶循环群，考虑无穷个二阶循环群的直积构成的群$G = \prod \limits _{i=2}^{\infty}G_2$是一个反例。
                显然这是一个群，其次任取一个元素它的阶都是$2$，最后$G$中有无穷多个元素，是题目所提条件的一个反例。
            }
        \end{enumerate}
    \end{exercise}

    \begin{exercise}
        我们先对$m$和$n$进行素因数分解：（假设质数列$\{p_n\}$）
        令$m=\prod\limits p_i^{\alpha_i}$，$n=\prod p_i^{\beta_i}$，则有
        $$[m,n] = \prod p_i^{\max\{\alpha_i, \beta_i\}}$$
        
        我们给出这样一个构造。取
        $$x_{p_i}=
        \begin{cases}
            a^{m/p_i^{\alpha_i}}   &   \alpha_i \ge \beta_i    \\

            b^{n/p_i^{\beta_i}}   &   \alpha_i < \beta_i    \\
        \end{cases}
        $$
        很显然，$x_{p_i}$的阶是$p_i^{\max\{\alpha_i, \beta_i\}}$。

        最后我们取
        $$
        c = \prod x_{p_i}
        $$
        它的阶
        $\text{ord}(c)=\prod\text{ord}(x_{p_i})=\prod p_i^{\max\{\alpha_i, \beta_i\}} = [m,n]$。则这个$c$就是我们需要的构造。
    \end{exercise}